逆順シャッフル
１の17乗根での巡回群
ガウスが十九歳のときに発見した正十七角形の作図と方程式の関係
多項式の根の拡大と置換
ガロア理論という見方
整数のモジュラー算術で対応
シャッフルとの関係では
逆順シャッフルとなる場合
十七角形だからmod.17
そのとき３が原始根
指数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
元 1 ,3,9, 10,13,5, 15,11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6
ちなみに十七での原始根は
3,5,6,7,10,11,12,14
みな同じように位数16で巡回する
(フェルマーの定理でp-1でまわる)
位数8では
(1,9,13,15,16,8,4,2)
これらはすべて位数8の巡回群で
どれかひとつを連続して置換するとこれらすべての元が一巡してもとに戻る周期が八回という意味ですね
ためしに９か２かでシャッフルすればよい
じつは八の周期を持つのはこの中の
2,9,8,15
恒等置換の１とp-1があり元が巡回する正規部分群たるそれらをかけていくとマイナス１
つまりは逆順シャッフルとなる(はず)
1*9*13*15*16*8*4*2=-1
つまり九進数のシャッフルをやってつぎに１４進数シャッフルをやって、、、八回すべてやりおえると逆順となるはず
順番はかえてよい
これは全部非原始根になってる
１は恒等置換で関係ないので
注目すべきはすべて非原始根であること
位数４では
(1,13,16,4)
1*13*16*4=-1
１３か４でまわせばよい
先程の八のときの使わなかったもので
4,13
が四回目でもとに戻る
位数２では
残りの
1,16
1*16=-1 mod.17
これは当たり前か
部分群はみんなp-1の約数でまわるのでこれでよい
ちなみに原始根をすべてかけると
3*5*6*7*10*11*12*14=1
理論では平方非剰余が原始根になりうるが平方非剰余であっても原始根であるとはかぎらないという
だけどこの場合例外なくなってる
実際は根をたしあわせてその係数としそれをかけてくみあえあせる多項式
ここでは元を直接計算するから掛け算する
これらがくみあわさった多項式の根が二次式で表されるから正十七角形は解けるつまり定規とコンパスだけで作図可能。
