インとアウトを接続

トランプでインとアウトのパーフェクトファロで連続させる

目的は

原始根でない六枚や十二枚でトップカードを一筆書のように周遊させる

六枚では

インのループ
c3
1-2-4-(1),,,

3-6-5-(3),,,,

アウトのループ

c1
1-(1),,,
6-(6),,,

c4
2-3-5-4-(2),,,

一筆書のループ(原始根的にひとつずつ周遊)
1--2--3--6---5--4--(1),,,

I--O--I--I--O--I---

ほかの元では
2--4--2--4--1--1--(2)
3--6--6--5--3--5--(3)
4--1--1--2--4--2--(4)
5--3--5--3--6--6--(5)
6--5--4--1--2--3--(6)

だからほかの元を周遊させるにはシフトさせればいいか

十二枚では

1-2--3--6--12--11--9--5--10--8--4--7--(1),,,

I--O--I--I--I--I--I--I--O--O--O--I--

１３は２が原始根だからほかの元がもとに戻らない

ひょっとしてパターンがあるんでは？

遷移図を書けばいいんでしょうがこれ以上は複雑になりそう。

逆順シャッフル四回目

逆順シャッフル

１の17乗根での巡回群

ガウスが十九歳のときに発見した正十七角形の作図と方程式の関係

多項式の根の拡大と置換

ガロア理論という見方

整数のモジュラー算術で対応

シャッフルとの関係では

逆順シャッフルとなる場合

十七角形だからmod.17

そのとき３が原始根

指数 0 1  2  3    4  5  6   7    8   9  10  11 12 13  14  15
元     1 ,3,9, 10,13,5, 15,11, 16, 14, 8,   7,  4,   12,  2,   6

ちなみに十七での原始根は

3,5,6,7,10,11,12,14

みな同じように位数16で巡回する

(フェルマーの定理でp-1でまわる)

位数8では

(1,9,13,15,16,8,4,2)

これらはすべて位数8の巡回群で

どれかひとつを連続して置換するとこれらすべての元が一巡してもとに戻る周期が八回という意味ですね

ためしに９か２かでシャッフルすればよい

じつは八の周期を持つのはこの中の

2,9,8,15

恒等置換の１とp-1があり元が巡回する正規部分群たるそれらをかけていくとマイナス１

つまりは逆順シャッフルとなる(はず)

1*9*13*15*16*8*4*2=-1

つまり九進数のシャッフルをやってつぎに１４進数シャッフルをやって、、、八回すべてやりおえると逆順となるはず

順番はかえてよい

これは全部非原始根になってる

１は恒等置換で関係ないので

注目すべきはすべて非原始根であること

位数４では

(1,13,16,4)

1*13*16*4=-1

１３か４でまわせばよい

先程の八のときの使わなかったもので

4,13

が四回目でもとに戻る

位数２では

残りの

1,16

1*16=-1 mod.17

これは当たり前か

部分群はみんなp-1の約数でまわるのでこれでよい

ちなみに原始根をすべてかけると

3*5*6*7*10*11*12*14=1

理論では平方非剰余が原始根になりうるが平方非剰余であっても原始根であるとはかぎらないという

だけどこの場合例外なくなってる

実際は根をたしあわせてその係数としそれをかけてくみあえあせる多項式

ここでは元を直接計算するから掛け算する

これらがくみあわさった多項式の根が二次式で表されるから正十七角形は解けるつまり定規とコンパスだけで作図可能。

逆順シャッフル三回

今回は十三枚で逆順になるシャッフルの特殊な例

サイステビンスシャッフルSSS

サイステビンスとは？

等差数列３(や時に４)をみたす数列の配列となるスタック

これをならべる方法をシャッフルとするなら？

いま例によって十三枚のカード

初期状態
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J    Q   K

サイステビンス
A ,4, 7, 10, K, 3, 6 ,9, Q, 2, 5, 8, J

にするには３分割シャッフルでやるには

K
10, J Q
7,  8,  9,
4,  5,  6,
A , 2, 3,

リバースになるけど逆に読み取ってそのままかさねて

二回目はよみかえて同じことをすれば

J, 2, 6, 10, A, 5, 9, K, 4, 8, Q ,3, 7

これは等差数列４となる

三回目に

7, 8, 9, 10, J, Q, K ,A ,2, 3, 4, 5, 6,

これは等差数列１

四回目

6, 3, K, 10, 7, 4, A, J, 8, 5, 2, Q, 9

これは逆順の等差数列３

さらに五回目

9, 5, A, 10, 6, 2, J, 7, 3, Q, 8, 4, K

これは等差数列４の逆順となっている

六回目で初期状態にもどる

となりサイステビンスが逆順になるシャッフル。

逆順シャッフル二回

前回の有限群での虚数の根の？シャッフルの実現

十三枚のカードでやるには

５を回す

通常十二枚を考えるが今回は十三枚

まず、
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J    Q   K

と順番に対応させて

これを５進でシャッフルする

例によってディールの５分割シャッフル

5,10,15,20,25,30,,,

5, 10 ,2 ,7 ,12 ,4, 9 ,1 ,6 ,11, 3 ,8

例によって対称性があるから－５つまり８をシャッフルするならこの逆に読み取る

8,  3, 1 1 ,6 ,1 ,9,4,12,7,2,10, 5

まず一枚ずつ順番にテーブルに置いていく

A , 2 , 3, 4, 5

その上にかさねて

6,   7,   8,    9,   10
A ,  2 ,  3,   4,   5

さらに重ねるのだがキングの置場所に注意

J    Q
6,   7,   8,    9,   10
A ,  2 ,  3,   4,   5
                          K

キングを５のしたにくりこむ

あとは割り出した順番にとっていく
8,  3, J ,6 ,A,9, 4, Q ,7,2,10, 5,K

おなじよに左から一枚ずつテーブルに置いて
10, 5,  K
9,   4, Q ,7,  2,    
8,   3, J , 6 , A,

二回目はキングはそのままクイーンのうえにかさねる

あとはおなじように順番にとってかさねると逆順になる

これをまた二回つまり都合四回やると初期状態にもどる。

分割シャッフルと周期

二進のディールと周期

六枚の場合

A
1 2 3 4 5 6
5 3 1 6 4 2
4 1 5 2 6 3
6 5 4 3 2 1
2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
1 2 3 4 5 6
(1.5.4.6.2.3.)r=6

B
1 2 3 4 5 6
6 4 2 5 3 1
1 5 4 3 2 6
6 3 5 2 4 1
1 2 3 4 5 6
(1.6.)(2.3.5.4.)r=4

二進のデバイドの周期

リバース
(終わったらリバースをかける)
1 2 3 4 5 6
4 1 5 2 6 3
2 4 61 3 5
1 2 3 4 5 6
(1.4.2)(3.5.6.)r=3

A
1 2 3 4 5 6
3 6 2 5 1 4
2 4 6 1 3 5
6 5 4 3 2 1
4 1 5 2 6 3
5 3 1 6 4 2
1 2 3 4 5 6
(1.3.2.6.5.4.)r=6

B
1 2 3 4 5 6
6 3 5 2 4 1
1 5 4 3 2 6
6 4 2 5 3 1
1 2 3 4 5 6
(1.6)(2.3.5.4)r=4

分割シャッフルの配置のやり方

分割デバイドシャッフルとその対応するディールシャッフル

前回定義した「分割デバイド」シャッフルの集め方がわかる

たとえば
六枚を三分割ディールシャッフル(三進)

計算では
1 2 3 4 5 6
3 6 2 4 5 1

だから

右から左に一枚ずつおいてそれを三ヶ所にくばる

集めるときにはうえの配置にかさねる

対応する分割デバイド

前回までのモンジェ二進のパーフェクトシャッフルの対応の知見を応用すれば割り出せる

1 2 3 4 5 6
5 3 1 6 4 2

となればよく

二枚ずつに三ヶ所においてから計算で割り出した配置の対応するカードを配置

1  3  5
2  4  6

だから右から左に一枚ずつとって重ねればよい

因みにもうひとつ別のやり方があって

1 2 3 4 5 6
3 6 2 5 1 4

1 2 3 4 5 6
2 4 6 1 3 5

ファロのインとアウトみたいなものか？対称性に気を付けないとN進数じゃなくなる。

数理トリックの可能性

数理トリックは科学マジック

科学マジックは本格推理ミステリーみたいなもの

だからあくまでも「本格数理トリック」というのがあったら

それは種明かしつまり数理の説明がないといけない

でもうまい演出でみせるとマジックとなるかと

数理トリック
「カードの一致」

ミステリー

いま、十二枚のカードをマジシャンと相手で各自もっている

相手には「デバイドの分割シャッフル」をしてもらう

マジシャンは「up-mongean の反転シャッフル」をしてもらう

お互いがおおなじ回数で異なる方式のパーフェクトシャッフルをやって

その各パケットの順番と数字がピタリと一致する

またマジシャンの一枚目４なら相手のカードをはしから数えて四枚目にAがあるというのをすべて一致させる

だから手元のパケットで相手のパケットの内容がわかってしまう

これを実現化するにはどうしたらよいか

手がかり

up-mongean/hre.(13)

   1 2 3 4 5  6  7 8  9 10 11 12 13
0)a 2 3 4 5  6  7 8  9 10  j   q    k
1)2 4 6 8 10 q a 3  5  7   9  j    k

N2(13)
1 2 3 4 5  6  7 8  9 10 11 12 13
0)a 2 3 4 5  6  7  8  9 10  j  q   k
1)7 a 8 2 9  3 10 4   j  5   q  6   k

からくり

反転モンジェシャッフルと分割デバイドシャッフルはその配列が完全に一致することをりよう

反転モンジェシャッフルの実行

普通のアップのモンジェシャッフルをやったあとに上半分をリバースする

カードを重ねてもったら一枚目を反対の手にとり次の一枚をそのうえにおく

その次をこんどはしたにおく次は上次ぎはしたとカードがなくなるまでやる

そのあとにオーバーハンドシャッフルのときのようにカードをエッジでたてに持って一枚ずつとって心のなかで数えながらリバースしてかさねて六枚をそのままのこりのカードのうえにかさねる
うえの配置のようになればよい

二分割デバイドシャッフルの実行

十二枚のカードを初期状態をニューメリカルオーダーでナンバリング

裏向きにうえから

1 2 3 45 6 7 8 9 10 j q k

いま裏向きにうえから六枚を順を変えないようにとりテーブルにおく

のこりを右におく

右のパケットのうえの一枚を真ん中におく

左のパケットのうえの一枚を真ん中のいまおいたうえにかさねる

また右から一枚とって真ん中のパケットのうえにおく

これを左右のカードがなくなるまでやる

結果は上記のようになる

二回目以降交互に向きが変わるので注意する

解決

じつはカードのならびが完全に一致する場合と一致しない場合とがある

それは有限群(置換群)の対称性がからんでる

果たしてそれは何回目のシャッフルでしょうか？‼

だからこのミステリーを解決するには知恵が必要だ。

分割シャッフルについて

ここで用語を明確にしておく

ディールシャッフル

手元に重ねてもったカードをテーブルの各所に配置して配っては集めるを繰り返すこと

分割シャッフル(デバイドシャッフル)

手元に重ねてもったカードを一旦テーブルに分割して配置して各パイルのカードをさらに一枚ずつとってひとつに重ねていくこと

いままではディールシャッフルについていってきた

分割シャッフルをみてみる

連続でやるには工夫しなければならない

なぜなら分割シャッフルにおいては交互にリバースされてしまうからだ

六枚の裏向きに重ねてもったカードを表向きに配ることで解決

いま裏向きにうえから
1 2 3 4 5 6

とナンバリング

裏向きにうえから一枚ずつとって表に返しながら三ヶ所にくばる

三分ディールシャッフル

左から右に

1 2 3

またおなじようにうえにかさえていく
      
4 5 6
1 2 3

これを右から左に順にパイルをとって重ねて

これを繰り返す

1)1 4 2 5 3 6
2)1 5 4 3 2 6
3)1 3 5 2 4 6
4)1 2 3 4 5 6

四回でもとに戻った

三分割シャッフル

「分割シャッフル」でやったら

こんどは二枚ずつ三ヶ所に裏向きにおいてから一枚ずつとって表に返しながら集める

1) 1 3 5 2 4 6 ←
2) 1 5 4 3 2 6→
3) 1 4 2 5 3 6←
4)1 2 3 4 5 6 →

(矢印は裏向きでやったときの向きになります)

おなじ四回でもとに戻ったか？
これでディールシャッフルと「分割シャッフル」がシミュレーションできたか？
なぜなら「分割シャッフル」の配置と三分ディールの配分が(順番は違うが)完全に一致するからです

いまは

1p→2p→3p

と重ねたけど
2→3→1
3→1→2...

というかさねかたもあり。

(つづく)

スペルトリックの求め方

パーフェクトシャッフルしたのちに相手の名前だけスペルしていくとメッセージがあらわれるという現象

これをやるにはまず素数枚数のカードでやる

素数じゃないと逆元の存在が保証されないし乗積表のうえからもよろしくない

で実際には

組み合わせによってかわるのだが

相手の名前の文字数をあらかじめ知っている場合は

その文字数の元の前のならびの元となるようなシャッフルを実行すればよい

具体的には

カードの枚数が十三枚で

相手の名前が二文字なら

XY≡2 (mod.13)

となる

XYのシャッフルをさがす

2*X≡1

ニの逆元をさがせばよく

2*7=14≡1

であるので

７のシャッフルをすると２の状態となってスペルすればsands/matuyamaのように順繰りでそろうはず

相手のスペルがわからない場合は乗積表のカンニングペーパーを用意しておくか？カードボックスの裏に張り付けたりして

また相手にディールシャッフルする数を指定してもらってもよい

その後に相手のスペルとなるようなカードのならびの元となるようなシャッフルをすればいい。

逆元の計算の実行

実際にシャッフルしたら

十七枚のカードで十進十二進のパーフェクトシャッフルしたらもとにもどるか

やり方

まず十七枚のカードを重ねた順番に一枚目が１二枚目が２という風にナンバリングする
当然トップが１でボトムが17

これを１０箇所に配置して配っては集めるというディールシャッフルを実行する

まずは一枚ずつ十ヶ所に配ると思いきや

1   2   3 

4   5   6

7

まできたら八枚目は１に重ねる

8    9   10
1    2     3

11   12 13
4      5     6

14
7

また順番に重ねていき

ここで十五番目を最後のパイルの右側ににおき

さらにうえに十六と十七を一枚ずつおく

8    9   10
1    2     3

11   12 　13
4      5   　  6

14　　15
7                      16        17
            
集めるときには

最後の17を最初にてにとりそのうえに14,7の組を重ねそのうえに11,4を重ねていき

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17
10.3.13.6.16.9.2.12.5.15.8.1.11.4.14.7.17

今度は十二進のシャッフルを実行する

結論からいうと計算結果からわりだしてるので

12.7.2.14.9.4.16.11.6.1.13.8.3.15.10.5.17

という風に取り上げていけばよいのはわかる

それを十二ヶ所に配っては集める

ただし一枚だけの箇所もあるので注意する

(今度のナンバリングはシャッフルを連続しているので上から読み替える必要がある)

集め方がだいぶ不規則なのでランダムなシャッフルに見えるか？

ファロディーラーはイカサマ師？

ファロディーラーがパーフェクトシャッフルをつかって客を負かせるには

特定のスタックにしておいてパーフェクトシャッフルで保つ

ふつうの？客を相手にしているときはなにもしない

ハイローラーが勝負に挑んできたときには次のカードがなにかを知る必要がある

もし相手側が勝の札ならば例によってセコンドやダブルで回避する

そのためにパーフェクトシャッフルをつかうならありうるか

それが「ファロ」シャッフルかどうか？

モンジェとミルクによるパーフェクトシャッフルでもメモライズドスタックにしておけばディーラーは回避できる

であればモンジェはファロの先祖か？

じつは
モンジェはパーフェクト「ファロ」の配置と対の関係にある

交互に変換可能で十三枚では

mongean s.(up)
(13)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
#1)q10 8 6 4 2 a 3 5 7 9 j k

Faro s.(2)
(13)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
#1) 2 4 6 8 10 q a 3 5 7 9 j k

前半を反転させればよい

これはファロシャッフルつまり二進のパーフェクトシャッフルの配置そのもの

どのようにカードが動くかのポジションを表している！

これを反転モンジェといおう

やはりモンジェはファロと繋がりがあった‼

コンピュータをつかってシャッフルの配置を計算しなくてもカードで計算できる！

もっとすごいことは順番が逆のシャッフルで完全に一致するからです

アンチファロとおなじで通常のファロシャッフルの逆順となる
(1.7.10.5.9.j.q.6.3.8.4.2.)

十三枚だったら十二回シャッフルすると二進の周期と一致する！

なぜなら
mod.13
2^12≡1

だからだ

この知見を応用すれば

たとえば数理トリックに応用

一致するカード

お互いが奇数素数のカードを持っていて
相手が二進のパーフェクトシャッフル(分割の)を１回やって
もう一方が(たぶんマジシャン役で)反転のモンジェシャッフルしていく
数回おわってからリバースカウントでストップをかけたところのカードを
枚数とカードの数字が一致することを示唆するようにすればよい。