カードマジックと数理２

カードマジックと数理は意外な関係がある。 中国式剰余演算とパーフェクトシャッフルとよばれるカードマジックで使われる技術について。

中国式剰余演算

孫子

ある数のもの、なんでもいいがここでは碁石が１０５ありこれを好きな数だけとりわける。 いま、その数を７で割れるだけわる。あまりをつぎに５でも割れるだけわる。つぎに３でもわ割れるだけわる をsそれぞれa,b,cとすると、それを聞くだけで全部でいくつあるかわかる。

数学でいう群をなす演算での剰余演算あるいはモジュラー算術を、ここでは３、５、７の数の法で考えるということを にすると、

x≡ a mod ７

x ≡ b mod５

x ≡ c mod ３

をみたす数xをさがせばよい。実際の演算でも、

x=15a+21b+70c

をもとめれば一意にもとまる。 これは、

p=7、５、３

の互いに素なみつぐみでないとうまくいかない。

じつはこれはトランプでもおなじであり、特定の枚数のカードpがあるとその数以下の枚数の p-１でみていくと、すべてp回でもとにもどるのです。

これはマジックの世界では、sands/matsuyamaの原理として有名である。（数学の世界ではとくに名前はないようです）

すべての数が一意にあらわれるにはやはり素数を法として考える

x^2=a mod p

という平方剰余の演算である、

x^s-1≡0 mod p

が、s通りの答えをもち、その個数がs個であるということ。

オイラーの定理、

x^n ≡ x mod n

その一般化、

a^r≡1mod N

さらに法が素数pならば、

a^p-1 ≡ 1 mod p

　

これをフェルマーの小定理という。

だから、素数pを法としてそれが、カード一組ならば５２枚数なのでプラスいちして５３を法としてaが二進数なので２ 、トーティエント関数がp－１で５２、だからカード一組でパーフェクトシャッフルをやると５２回でもとにもどるのです。あれ、カード一組をパーフェクトシャッフルすれば、８回でもとにもどるのではないか。それはアウトのパーフェクトシャッフルである。インならば上記のとうり。アウトは－２ すればよい。５２－２＝５０のイン（しかし１プラスして５１を法とすること）、パーフェクトシャッフルと周期はおなじになるのでよい。 なぜ、一枚プラスするのか。それはAKBでも秋元がいるので４９になるのとおなじか？ちがうか。 。

さらに、これを変形して、

(p-1)^2 ≡１mod p

(p-1)!≡ -1 mod p

さらにおもしろいのは、

p^2 -1=（p+1)(p-1)

が 24で割りきれるって、ふしぎ？

この３つが互いに素なみつぐみになるかどうかが有名な双子素数のレンマか？

で、じつはこの、フェルマーの小定理にあらわれた、法がpならばp－１で一周するというのがパーフェクトシャッフルの周期で あり、それはオイラーのトーティエント関数の約数となる。それは偶数であり、乗法的になっている。 さらにaが原始根であり、素数pを法として考えるときには必ずあるというのがレンマである。 また、AKBにたとえるならば、原始根aがレパートリーであり、そのときに全員Nでうたうが、何曲あるか、または何番あるか、である。余計わかりにくい。 フェルマーの定理にあらわれた離散対数を暗号につかうと、RSA暗号になるのです。 そのときにはNとaが互いに素であり、rが（p-1）（q-1）の積にあらわせるという素因数分解の一意性と 離散対数の一方向関数としての性質をつかうとか。 暗号理論とシャッフルの周期をもとめる問題が本質的にはおなじとはおどろきである。