対称シャッフル

マトリックスシャッフルの続き

非対称シャッフル

普通のN進数のシャッフルならば

N分割で計算できる

以下mod7

3^1=3

3^2=9≡2

3^3=27≡6=-1

で対称なので工夫すれば三回でリバース状態になるか？

#1

1 3 5

2 4 6

#2

5 1 4

3 6 2

#3

4 5 6

1 2 3

で逆にしたら同じ順で戻っている

今度は取り方をかえて

#1

1 3 5

2 4 6

#2

1 5 4

3 2 6

#3

1 4 2 

5 3 6

#4

1 2 3

4 5 6

１と６が不動になる

7=0で

特異点を付け加えてもよいから

2*3=-1(mod.7)

これでは

パーフェクトファロシャッフルでいうインとアウトみたいにずれる

これは非対称になる

実際は

3^4≡1(mod.5)

で実質四枚(特異点を含むと五枚)でシャッフルしている

対称シャッフル

つぎに九枚で

3*3=9

9-1=8

3^4≡1(mod.10)

#1

1 4 7

2 5 8

3 6 9

#2

7 8 9

4 5 6

1 2 3

#3

9 6 3

8 5 2

7 4 1

#4

3 2 1

6 5 4

9 8 7

(1,3,9,7)

やはり四回でもとにもどるが

今度は

八枚で

マトリックスシャッフル二回でもどるシャッフルを逆にしたら

#1

7 8 6

4 5 3

1 2

#2

6 3 2

8 5 1

7 4

#3

2 1 4

3 5 7

6 8

#4

4 7 8

1 5 6

2 3

#5

8 6 3

7 5 2

4 1

#6

3 2 1

6 5 4

8 7

#7

1 4 7

2 5 8

3 6

(1,3,8,4,2,6,7)(5)

C7で５が不動点

このうち最後の二回が(拡張版)マトリックスシャッフルだとわかる

つまりマトリックスシャッフルはＮ進数シャッフルの一部だったわけ

このようなシャッフルを対称シャッフルとでも名付けよう。

周期

三進での周期

14-R6(mod.15)3*5

15-R4(mod.16)4*4

16-r16(mod.17)p

17-mts(mod.18)3*6

18-r18(mod.19)p

19-r4(mod.20)2^2*5

20-mts(mod.21)3*7

21-r5(mod.22)2*11

22-r11(23)p

23-mts(24)3*8

24-r20(25)5*5

25-r3(26)2*13

26-mts(27)3*9

27-r6(28)4*7

28-r38(29)p

29-mts(30)3*10

30-r30 (31)p

31r8(32)