バカバカしいほどおもしろい(はず)
名刺の予言
はじめてあった相手に名刺をわたすシチュエーションでつかえるかものマジック？
現象
相手にトランプの数字とマークを思い浮かべてもらう
たとえばダイアの７
「昨日の夜夢を見まして、それがちょうどおなじような状況だったんです」
「不思議なことにあなたの選んだトランプの柄それがダイアの７だったんです」
「それで今日の朝私は名刺の裏にプリンターでダイアの７を印刷したのです」
財布から取り出して見せると名刺の裏がダイアの７になっている！
種明かし
じつはすべてのトランプの柄の名刺を財布にいれておく！
カードがたくさんはいる収納の財布があるのでそれを利用する
自分のほうに中身を向けて(あるいは背にして)名刺をだす
種明かしはしてもしなくてもいいがした方が受けがいいか
変な人だとおもわれて「つかみ」にいいかもしれない。
中学受験(あるいは高校受験)でありうるかもしれない問題
問題１、
２０２１年１２月は水曜日ではじまり３１日は金曜日です。
では３２日３３日、、、と続いて３３２１日があったら何曜日でしょうか？
問題２、
ある月で３３２１日は水曜日でした。
ではその月の１日は何曜日でしょうか？
問題３、
ある月で日曜日が１日からはじまり無限に続くとする。
では３６６週目の水曜日は何日でしょう？
問題４、
ある月で日曜日が１日からはじまり無限に続くとする。
では１２３４週の金曜日は下一桁の数字は？
問題１の解答
初等整数論の知識で
3321=7*474+3で３の剰余類に入るので金曜日。
問題２の解答
逆の問題にで水曜日が３の剰余類に入るので１日は月曜日。
問題３の解答
水曜日の剰余
7k+4
はじめの週をゼロとすると
365*7+4=2559
問題４の解答
カレンダーをたてにみると下一桁が
1,8,5,2,9,6,3,0,7,4
という風に循環している
日曜日が１日なら金曜日は６で
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6,3, 0,7, 4,1, 8,5,2, 9,
1233=7
1233*7+6=8637
三次対称群の置換表示とサイクル表示を
123 (e)
213(12)
231(123)
321(13)
312(132)
132(23)
これを互換で繋いでいくと
(12)
(23)
というとなりあう数字の交換を交互にくりかえす
はじめは恒等置換の123からで
123
(12)
213
(23)
231
(12)
321
(23)
312
(12)
132
(23)
123
と遷移してもとにもどるから交互に横棒をひくあみだくじはもとにもどる
偶奇があり
(-1)
213
132
321
(+1)
123
231
312
置換のサイクルが
213(12)
231(123)
(123)=(12)(23)=(23)(13)
132(23)
321(13)
312(132)
(132)=(13)(23)
遷移図から
231=(12)(23)r=2
321=(12)(23)(12)r=3
312=(12)(23)(12)(23)r=4
132=(12)(23)(12)(23)(12)r=5
となりすべてとなりあう互換のみでかける
ぐるっと一周してもとにもどる
右回り左回りがある
問題は順番によって結果が違うかどうか
(12)(13)=312(132)
(13)(12)=231(123)
(12)(23)=231(123)
(23)(12)=312(231)
やはり結果が違う！置換の積は可換でない
(123)(132)=123(e)
(132)(123)=123(e)
これは逆置換でなく正規部分群の元だからか？
(e)=123
((12)(23))^2=312(132)
((12)(23))^3=123(e)
(12)^2=123(e)
(23)^2=123(e)
(13)^2=123(e)
共役類での部分群の元
1,{e} (単位元)
2,{e,(12)}
{e,(23)}
{e,(13)}
3,{e,(123)(132)} A3(正規部分群)
6,S3 (三次対称群自身)
(1+3+1+1=6)
数理マジックに応用すると
イカサマゲーム
ではこれをいま三つの品物(消しゴム、あめ玉、輪ゴム)として
相手に二つの品物を自由に交換する
となりあうだけでなく二つの品物を交換する
(12),(13),(23)の互換がゆるされる
ただしこちらが手を叩いて回数をコントロールする
偶置換の置換になったらそれに応じて品物をプレゼントするという
奇置換ならあげないというルールなら
奇置換の互換をするように奇数回で手を叩いてやめておく
もちろん演出によってプレゼントするほうでもよい。
すべての置換が互換の積でかけることとあみだくじの作成
Gが位数６だと
Z7の剰余群の剰余
1/7=
ある巡回群
[置換表示] (サイクル表示)
(7)1 2 3 4 5 6
1)[1 2 3 4 5 6 ] (e)
2)[2 4 6 1 3 5 ](124)(365) r=3
3)[3 6 2 5 1 4 ](132645)r=6
4)[4 1 5 2 6 3 ](142)(356)r=3
5)[5 3 1 6 4 2 ](154623)r=6
6)[6 5 4 3 2 1 ](16)(25)(34)r=2
これは７を法とした底３の乗法の剰余演算(カードマジックの言葉で言えば三進シャッフル)
3^1:362514
3^2:246135
3^3:654321
3^4:415263
3^5:531642
3^6:123456
普通のパーフェクトシャッフルなら連続してやるから
指数の計算はmod.p-1でやらなきゃいけないが
異なる置換同士直接計算するなら
たとえば
[2 4 6 1 3 5]*[5 3 1 6 4 2]=
3^2*3^5
=2*5≡ 10 (mod.7)
2*5=10≡3
で
(2)*(5)=(3)
[2 4 6 1 3 5][5 3 1 6 4 2]=[3 6 2 5 1 4]
がわかる
同様にして
3^3*3^4
3*4=12≡5
(3)*(4)=(5)
[3 6 2 5 1 4][4 1 5 2 6 3]=[531642]
となるはず
さらに
2*4=8≡1
(2)*(4)=(e)
任意の置換が互換の積でかけるから
[246135]=(12)(34)(23)(56)(45)(34)r=6
[415263]=(34)(23)(12)(45)(34)(56)r=6
(例によって対称になってる)
これをつなぐと
[246135]*[415263]=123456=e
(12)(34)(23)(56)(45)(34)*(34)(23)(12)(45)(34)(56)=e
恒等置換となる(逆からもしかり)
(2)*(5)=(3)
[531642]=(45)(34)(23)(12)(34)(23)(45)(56)(45)
[2 4 6 1 3 5]*[5 3 1 6 4 2]=[3 6 2 5 1 4]
(12)(34)(23)(56)(45)(34)*(45)(34)(23)(12)(34)(23)(45)(56)(45)=[362514]
また
2*3=6=≡-1
であるので
[246135]*[362514]=[654321]
これをあみだくじの作成に応用するとどうなるか？
おなじ置換表示を異なる互換の積で表せてそれをいくらでも作り替えられる
つまり無駄に長いあみだくじを無限につくることができるわけだ。
循環節の長さの数列
剰余の数列に循環節の数列がでている現象について
1/19=
[0,5,2,6,3,1,5,7,8,9,4,7,3,6,8,4,2,1,]
(10,5,12,6,3,11,15,17,18,9,14,7,13,16,8,4,2,1,)
１０を底としたモジュラー算術での位数(巡回周期)が循環節の長さとそのまま一致
r=18
10^18≡ 1 (mod.19)
で問題はなぜ循環節の数列が剰余数列の下一桁に一致するのか？
ならべかえてみる
剰余数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
循環節数列1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8
しも一桁が９だからか
19
199
299
これらもそうなる
問題は剰余の数列のしも一桁にに循環節が一致しなくてもpをかけて一致する場合とさらに９をかけてからしも一桁が一致する場合
観察力
前回は９をかけなくてもいい場合は
しも一桁が３か７の場合だった
９をかけてからの場合はしも一桁が１か９の場合
ということは素数の積つまり合成数が分母の場合はまたそうか
これも前回の検証でそうなってる！
でもしも一桁に２やその倍数か５がでるとソウナラナイ。
2
前回は循環小数の循環節の長さつまり位数をしるのにカードシャッフルだけでやるにはどうしたらいいかというトピックだった
循環節の長さと剰余の置換がシンクロすることを利用していた
商でなくて直接余りの数列を計算することによって循環節の長さをだすという裏技？だった
でもせっかくなので
循環節自体を求めたい
課題
「剰余の数列を循環節の数列に変換」
まずシャッフルでわりだした剰余の数列をもとのmod.pでかける
つぎにそれを１０でモドつまりしも一桁をとる
X*p≡ a (mod.10)
例
1/7=
[1,4,2,8,5,7]
(3,2,6,4,5,1)
3*7=21=1
2*7=14=4
6*7=42=2
4*7=28=8
5*7=35=5
1*7=07=7
このようにすると素数の分母の十進小数展開とおなじになる
じつはこの方法には難があってそうならない素数の場合があり
具体的には
7,13,17,23,37,43,47,53,67,97,,
はそのままでよいが
そのままではだめな素数の
11,19,29,31,41,59,61,71,,,
は９をかけてから１０でモドスルとよい
なぜそうなるかはわかりませんが
分母が合成数つまり素数の積の場合はまたかわっていて
63,77,11*13,9*13,9*17,11*17,4*17,,
ならばよくて
7*13,7*37,11*19,2*17,,,
これらがだめ
ヒントは
1/19=
(10,5,12,6,3,11,15,17,18,9,14,7,13,16,8,4,2,1)
[0,5,2,6,3,1,5,7,8,9,4,7,3,6,8,4,2,1,]
そのまましも一桁にでてるんです
そういう組み合わせがあるのでしょう？
これは数理マジックです
(数理を知るための科学手品)
ある素数Pの逆数1/pの循環節の長さをシャッフルだけでつきとめる
方法
「１０がその素数でのmod.pでの原始根かどうかをシャッフルで判定」
原始根とは
通常原始根はp-1の周期です
それより小さい巡回周期ならp-1の約数のはず(ラグランジュの定理？)
パーフェクトシャッフルという置換群
ある置換の元でまわしてパーフェクトシャッフルを実行すると巡回周期(サイクル)でもとのならびにもどる
これは巡回群
いま１０の元でまわしていってそのサイクルが原始的？かどうかをみる
シャッフルで計算
具体的には１０の元の置換の表示をsands /matsuyama法を実行してつきとめる
つぎにその置換でパーフェクトシャッフルしていけばよい
例
1/13=?
１０が１３を法として原始的かどうか
十三枚のカードを重ねてもって上から
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
これでかのsands /matsuyama法を実行して十枚ごとにくる札の数をかきとめる
(どうしてかというとサイステビンスとおなじ原理)
結果
10;10-7-4-A-J-8-5-2-Q-9-6-3-k
今度はキングを除いた十二枚をテーブルに横並びに順番におく
さきほどの結果をそれぞれの場所にのしたに新たにおいていく
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q
10 7 4 A J 8 5 2 Q 9 6 3
上の段の数字をみてそのしたに何のカードが来ているかをみる
いま１０のしたには９だから左端の１０のしたに新に１０の札をおく
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q
10 7 4 A J 8 5 2 Q 9 6 3
9
７の下は５だから５を追加
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q
10 7 4 A J 8 5 2 Q 9 6 3
9 5
左端の数字が１になるまで実行して
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q
10 7 4 A J 8 5 2 Q 9 6 3
9 5 A 10 6 2 J 7 3 Q 8 4
Q J 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
3 6 9 Q 2 5 8 J A 4 7 10
4 8 Q 3 7 J 2 6 10 A 5 9
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q
二つのサイクルがあることがわかる
(1.10.9.12.3.4.)
(2.7.5.11.6.8.)
こうしてつきとめた周期が６なので１３分の１は循環節の長さは１２でなくて６だとわかる
実際に
1/13=0.076923...
これはなにをしているかというと剰余演算をだしている
具体的には
公比10の等比数列をモジュラー算術ですべてやってる
(マジックでならパーフェクトシャッフルとおなじ)
剰余の数列はサイクルのひとつとおなじで
10-9-12-3-4-1
ただ計算量はおなじでもいつも１になるまで実行すればいいのでどこで周期が終わるかわかりやすいのではと。
昔「ナポレオンズのマジック道場」という番組でやっていたねた
封筒がいくつかありこのうちひとつだけに賞金がはいっている
自由にまぜてからダウンアンダーの操作で残った封筒が賞金いりとなる
フリーカットでまぜてペンシルドットでもとにもどす
ダウンアンダーの原理だけだと純粋に数理だけどマジックの原理や演出のテクニックをくみあわせるとエンターテイメントとなるいい例
そこで変形を考えた
カード型では
名刺を裏向きにもって残ったものだけに印刷
絵はがきを持っていて残ったものとおなじ絵のタペストリー
CDアルバムをもって残ったものだけにからになっていてあらかじめおいてあるプレイヤー
にセットされている、、、
ナポレオンズのパルト小石さんがおなくなりになりました
ご冥福をお祈りします。
