あみだくじと剰余の置換

すべての置換が互換の積でかけることとあみだくじの作成

Gが位数６だと

Z7の剰余群の剰余
1/7=

ある巡回群
　　[置換表示]　(サイクル表示)
(7)1 2 3 4 5 6
  1)[1 2 3 4 5 6 ] (e)
  2)[2 4 6 1 3 5 ](124)(365) r=3
  3)[3 6 2 5 1 4 ](132645)r=6
  4)[4 1 5 2 6 3 ](142)(356)r=3
  5)[5 3 1 6 4 2 ](154623)r=6
  6)[6 5 4 3 2 1 ](16)(25)(34)r=2

これは７を法とした底３の乗法の剰余演算(カードマジックの言葉で言えば三進シャッフル)

3^1:362514
3^2:246135
3^3:654321
3^4:415263
3^5:531642
3^6:123456

普通のパーフェクトシャッフルなら連続してやるから
指数の計算はmod.p-1でやらなきゃいけないが
異なる置換同士直接計算するなら

たとえば

[2 4 6 1 3 5]*[5 3 1 6 4 2]=

3^2*3^5
=2*5≡  10 (mod.7)

2*5=10≡3

で
(2)*(5)=(3)
[2 4 6 1 3 5][5 3 1 6 4 2]=[3 6 2 5 1 4]

がわかる

同様にして

3^3*3^4

3*4=12≡5

(3)*(4)=(5)

[3 6 2 5 1 4][4 1 5 2 6 3]=[531642]

となるはず

さらに

2*4=8≡1

(2)*(4)=(e)
任意の置換が互換の積でかけるから

[246135]=(12)(34)(23)(56)(45)(34)r=6
[415263]=(34)(23)(12)(45)(34)(56)r=6

(例によって対称になってる)

これをつなぐと
[246135]*[415263]=123456=e
(12)(34)(23)(56)(45)(34)*(34)(23)(12)(45)(34)(56)=e

恒等置換となる(逆からもしかり)

(2)*(5)=(3)

[531642]=(45)(34)(23)(12)(34)(23)(45)(56)(45)

[2 4 6 1 3 5]*[5 3 1 6 4 2]=[3 6 2 5 1 4]
(12)(34)(23)(56)(45)(34)*(45)(34)(23)(12)(34)(23)(45)(56)(45)=[362514]

また

2*3=6=≡-1

であるので

[246135]*[362514]=[654321]

これをあみだくじの作成に応用するとどうなるか？

おなじ置換表示を異なる互換の積で表せてそれをいくらでも作り替えられる

つまり無駄に長いあみだくじを無限につくることができるわけだ。