三次対称群とあみだくじ

三次対称群の置換表示とサイクル表示を

123 (e)
213(12)
231(123)
321(13)
312(132)
132(23)

これを互換で繋いでいくと

(12)
(23)
というとなりあう数字の交換を交互にくりかえす

はじめは恒等置換の123からで

123
(12)
213
(23)
231
(12)
321
(23)
312
(12)
132
(23)
123

と遷移してもとにもどるから交互に横棒をひくあみだくじはもとにもどる

偶奇があり

(-1)
213
132
321
(+1)
123
231
312

置換のサイクルが

213(12)

231(123)
(123)=(12)(23)=(23)(13)

132(23)

321(13)

312(132)
(132)=(13)(23)

遷移図から

231=(12)(23)r=2

321=(12)(23)(12)r=3

312=(12)(23)(12)(23)r=4

132=(12)(23)(12)(23)(12)r=5

となりすべてとなりあう互換のみでかける

ぐるっと一周してもとにもどる
右回り左回りがある

問題は順番によって結果が違うかどうか

(12)(13)=312(132)
(13)(12)=231(123)

(12)(23)=231(123)
(23)(12)=312(231)

やはり結果が違う！置換の積は可換でない

(123)(132)=123(e)
(132)(123)=123(e)

これは逆置換でなく正規部分群の元だからか？
(e)=123
((12)(23))^2=312(132)
((12)(23))^3=123(e)
(12)^2=123(e)
(23)^2=123(e)
(13)^2=123(e)

共役類での部分群の元

1,{e}　　　　　　(単位元)
2,{e,(12)}
{e,(23)}
{e,(13)}
3,{e,(123)(132)}　A3(正規部分群)
6,S3　　　　　　(三次対称群自身)

(1+3+1+1=6)

数理マジックに応用すると

イカサマゲーム

ではこれをいま三つの品物(消しゴム、あめ玉、輪ゴム)として
相手に二つの品物を自由に交換する
となりあうだけでなく二つの品物を交換する
(12),(13),(23)の互換がゆるされる
ただしこちらが手を叩いて回数をコントロールする

偶置換の置換になったらそれに応じて品物をプレゼントするという
奇置換ならあげないというルールなら
奇置換の互換をするように奇数回で手を叩いてやめておく

もちろん演出によってプレゼントするほうでもよい。