シャッフルについて３

もう少しべつの角度からデバイドのシャッフル(置換)をみてみる

普通のパーフェクトファローシャッフルは二進の置換ですから

理論上は

七枚のカードで三分割なら

3^r ≡1 (mod.7)

のrが戻る回数ですね

因みにファロー置換なら

2^r ≡1 (mod.7)なら
0)1 2 3 4 5 6 7

1)2 4 6 1 3 5 7

2)4 1 5 2 6 3 7

3)1 2 3 4 5 6 7

で三回でもどってしまう(これは７を法としたときに２が原始根でないから2^3≡1)

すべての元を３掛けて７をこえたら引けるだけひけばよい

0)1 2 3 4 5 6 7

1)3 6 2 5 1 4 7

置換表示
(1 3 2 6 4 5 )

の六回で戻るはず

ふむ

７を法として３は原始根

７は素数でp-1で６

これをカードでやるには置換のとうりにとっていけばよいか

ただしはじめは「三枚ずつ」にたばにして左から右におく

1 2 3|4 5 6| 7
それで右真ん中左という順番に「一枚ずつ」重ねていくのがいい

ただし右のパケット？は７の一枚しかないからあとは真ん中左真ん中左となる

3 6 2 |5 1 4 |7

だから７は不動点で動かない

このタイプのシャッフルではモデルとして完全に計算可能なのでなん分割でも何回でもとに戻るかは原始元かどうかできまる
元(カード)の組み合わせによってもっとはやくもとに戻るはず

講談社ブルーバックスの「素数入門」「数論入門」(ともn著者は芹沢正三さん)
には付録に位数表や指数表や素数の最小素数原始根の表があって役に立つ‼

ためしに十三枚では３進シャッフルをするには

３は１３を法として原始元でない

３回でもとに戻るはず

で実際に(13は0で不動)

1) 3 6 9 |12 2 5 |8 11  1 |4 7 10
2)9 5 1| 10 6 2 |1 7 3| 12 8 4
3)1 2 3| 4 5 6 |7 8 9 |10 11 12

循環置換の表示
(1 3 9)
(2 6 5)
(4 12 10)
(7 8 11)

で四分割のシャッフルとして実行できる。
(因みに５３だと２３と３０が四回で戻るらしいなんてのがある、多分乗法逆元でインバースの置換はリバースシャッフルなので二回でもとに戻るけどどうやったら実行できるか？)