インとアウトを接続

トランプでインとアウトのパーフェクトファロで連続させる

目的は

原始根でない六枚や十二枚でトップカードを一筆書のように周遊させる

六枚では

インのループ
c3
1-2-4-(1),,,

3-6-5-(3),,,,

アウトのループ

c1
1-(1),,,
6-(6),,,

c4
2-3-5-4-(2),,,

一筆書のループ(原始根的にひとつずつ周遊)
1--2--3--6---5--4--(1),,,

I--O--I--I--O--I---

ほかの元では
2--4--2--4--1--1--(2)
3--6--6--5--3--5--(3)
4--1--1--2--4--2--(4)
5--3--5--3--6--6--(5)
6--5--4--1--2--3--(6)

だからほかの元を周遊させるにはシフトさせればいいか

十二枚では

1-2--3--6--12--11--9--5--10--8--4--7--(1),,,

I--O--I--I--I--I--I--I--O--O--O--I--

１３は２が原始根だからほかの元がもとに戻らない

ひょっとしてパターンがあるんでは？

遷移図を書けばいいんでしょうがこれ以上は複雑になりそう。

数理トリックベストテン

数理トリックのリストアップ

数理トリックで数理マジックではない

１、百五減算(中国剰余定理)

連立合同式をとく問題を数あてに応用

コメント

頭のなかで計算する？

１、目附字(二進法の原理)

二進法で一意に表現できることの応用

コメント

よくあるパーティーグッズで１から１００までのうち好きなひとつをおもってもらい

これをあてる

むかしNHKの教育で秋山仁さんがやっていた番組のように現代ではカードの番号を

「ある」「なし」で当てるように改造

珍しい応用で書き順のたて棒横棒であてる漢字

１、ジェルゴンヌのパイルのつみかえ

カードシャッフルで相手のカードの位置をあてる

または任意の位置のコントロール

カードのコントロールに使うのがパーフェクトシャッフルぽい

１、即席の魔方陣作成
１、９の原理(デジタルルート)
１、数字のあてもの(代数的)

(つづく)

パーフェクトシャッフル事典

パーフェクトシャッフルの用語(ここだけのやつ)

用語が複雑になったので

分類

【パーフェクトシャッフル】

perfect shuffle
=完全シャッフル
シャッフルイコール置換

(シャッフル、シャフル、シャッフリングはすべて置換)

でその置換Aを連続でやるのがパーフェクトシャッフル

ランダムにならずに特定の順でならびかえる

【ファローシャッフル】

faro shuffle 

カードを半分にわけてデックの縁をつきあわせてやる

あるいは半分にパケットにわけて交互に一枚ずつとって重ねていく

このときはそのままの順で重ねていくのと逆順に重ねていくのとがある

二進のシャッフルにそうとうする

インとアウトがある

2N枚のカードを「イン」のパーフェクトファローシャッフルすると

2N+1を法とした剰余類(有限群)での演算となる

注意が必要なのは

不動点があるので

mod.p=7

7=0

七枚の場合ボトムの七枚目はなくてもよくなるので六枚でもよい

(1,2,3)(4,5,6,7)

#1[4, 1, 5, 2, 6, 3]

#2[2, 4, 6, 1, 3, 5]

#3[1, 2, 3, 4, 5, 6]

これは二進の剰余演算(モジュラー算術)

2^r≡a

に相当する

一組のトランプ五十二枚で「イン」のパーフェクトファローシャッフルを五十二回連続でやると完全にもとにもどる

(実際にやる人はそうはいない)

2^52 ≡1 (mod.53)

一組のトランプ五十二枚で「アウト」のパーフェクトシャッフルを八回連続でやると完全にもとにもどる

(何年かまえにトランプマンがトリビアの泉という番組で一組のトランプをパーフェクトファローシャッフルすると完全にもとにもどるというのをやったが一回でもインでやったらそれこそアウト)

アウトの計算

2N-1でそれぞれのカードのポジションがわかる

2^8 ≡1(mod.51)

ただし一枚目と五十二枚目は不動点で動かないので二枚目をみてみると

2*2 -1=3

2*3 -1=5

2*5 -1=9

2*9 -1=17

2*17 -1=33

2*33 -1=14

2*14 -1 =27

2*27 -1 =2

と巡回することがわかる

【モンジェシャッフル】

MONGU

モンジュ？モンジーン？

【リフルシャッフル】
カードの端をはじいてシャッフル

パーフェクトリフルシャッフル

【ディールシャッフル】

二進でディールシャッフルするとは

束ねたカードを手にもってトップから

左右交互に一枚ずつ配って重ねていく

当然結果は偶奇でリバースする

右手左手がある

(1 2 3 4 5 )(6 7 8 9 10)

#1R(10, 8, 6, 4, 2, 9, 7, 5, 3, 1)

#1L(9, 7, 5, 3, 1,  10, 8, 6, 4, 2)

二進のパーフェクトシャッフルに相当するのでステイスタックの原理がはたらき中心対称性がある

二進シャッフルでの周期

枚数-in/out

13-12/10

14-mts

15-4/12

16-mts

17-8/4

18-mts

19-18/8

20-mts

21-6/18

22-mts

23-11/6

24-mts

25-20/11

26-mts

27-18/20

【分割シャッフル】

dividing  shuffle 

デバイドのシャッフルなど

【マトリックスシャッフル】　

【同値なシャッフル】

mod.7

(1,2,3,4)(5,6,7)

#1[1, 5, 2, 6, 3, 7,4]

#2[1, 3, 5, 7, 2,4, 6]

#3[1, 2, 3, 4,5, 6, 7]

1をとりのぞき１ひくと

#1[4, 1, 5, 2, 6, 3]

#2[2, 4, 6, 1, 3, 5]

#3[1, 2, 3, 4, 5, 6]

で2^3≡1

サイクル(シャッフリングの周期)が同じシャッフルは同値なシャッフリング？

モンジェシャッフルは順番が半分逆順になってるだけなのでファローシャッフルとおなじ二進

SANDS- MATSUYAMA 法とN進数シャッフルのかんけい循環小数の循環周期と有限群

カードシャッフルの数理用語

置換表示

置換群

サイクル表示

サイクル分割

剰余数列

巡回群

(カードシャッフルのn進シャッフルでの)n進展開数列

対称群(全置換群ともいう)

置換群とは部分群で全部のn次対称群の元(置換表示)を繋いでもとの初期状態に戻せる

あみだくじ表示

フェルマーの小定理

オイラーの定理

ルジャンドル記号

平方剰余の相互法則

オイラーの関数

有限群

有限体

整数の場合一番基本的な体という意味で有限素体という場合もある

素数だと一意的になりうまくいく

Z/pZ→Fp

整数だけで体になるのが不思議

有限体上の加算

暗号理論などでつかう楕円曲線の有限体上の加算

芸術論

たとえば「財布に通うカード」

消失と出現イコール移動

デックから一枚を自由にえらんでもらう

表にサインをしてもらってからデックのなかにいれる

さらに相手にまぜてもらう

相手に裏向きに一枚ずつ数えてもらって５1枚しかない....  a

さらに表向きに調べてもらって相手のカードの消失

それを財布または別のところからだす

ポイント

aのところでミステリーのドラマがうまれる
相手に想像して予見させる
ただしこの段階では相手のカードの消失とはいえない

あくまで５２枚から1枚減っているにすぎない

カードは通常５２枚で1枚減ったという

でおもった通り相手のカードだけ消失したことをデックをひろげてみせるかどうか

消失から出現

つまり「消失」がドラマチックにあって「出現」がミステリーの対になる

「移動」はその解決になる

ただどうして移動したのかは明かされないけど

プレモニションはあらかじめオモッタカードを抜いておいたという

それでは移動や消失は強調されないから別の現象「予言」となる。

対称シャッフル

マトリックスシャッフルの続き

非対称シャッフル

普通のN進数のシャッフルならば

N分割で計算できる

以下mod7

3^1=3

3^2=9≡2

3^3=27≡6=-1

で対称なので工夫すれば三回でリバース状態になるか？

#1

1 3 5

2 4 6

#2

5 1 4

3 6 2

#3

4 5 6

1 2 3

で逆にしたら同じ順で戻っている

今度は取り方をかえて

#1

1 3 5

2 4 6

#2

1 5 4

3 2 6

#3

1 4 2 

5 3 6

#4

1 2 3

4 5 6

１と６が不動になる

7=0で

特異点を付け加えてもよいから

2*3=-1(mod.7)

これでは

パーフェクトファロシャッフルでいうインとアウトみたいにずれる

これは非対称になる

実際は

3^4≡1(mod.5)

で実質四枚(特異点を含むと五枚)でシャッフルしている

対称シャッフル

つぎに九枚で

3*3=9

9-1=8

3^4≡1(mod.10)

#1

1 4 7

2 5 8

3 6 9

#2

7 8 9

4 5 6

1 2 3

#3

9 6 3

8 5 2

7 4 1

#4

3 2 1

6 5 4

9 8 7

(1,3,9,7)

やはり四回でもとにもどるが

今度は

八枚で

マトリックスシャッフル二回でもどるシャッフルを逆にしたら

#1

7 8 6

4 5 3

1 2

#2

6 3 2

8 5 1

7 4

#3

2 1 4

3 5 7

6 8

#4

4 7 8

1 5 6

2 3

#5

8 6 3

7 5 2

4 1

#6

3 2 1

6 5 4

8 7

#7

1 4 7

2 5 8

3 6

(1,3,8,4,2,6,7)(5)

C7で５が不動点

このうち最後の二回が(拡張版)マトリックスシャッフルだとわかる

つまりマトリックスシャッフルはＮ進数シャッフルの一部だったわけ

このようなシャッフルを対称シャッフルとでも名付けよう。

周期

三進での周期

14-R6(mod.15)3*5

15-R4(mod.16)4*4

16-r16(mod.17)p

17-mts(mod.18)3*6

18-r18(mod.19)p

19-r4(mod.20)2^2*5

20-mts(mod.21)3*7

21-r5(mod.22)2*11

22-r11(23)p

23-mts(24)3*8

24-r20(25)5*5

25-r3(26)2*13

26-mts(27)3*9

27-r6(28)4*7

28-r38(29)p

29-mts(30)3*10

30-r30 (31)p

31r8(32)

普通でないマトリックスシャッフル

 普通のマトリックスといっても数学のじゃなくマジック用語の

マトリックスシャッフルとは

n*m=N枚のカードを重ねてもって

n行m列にならべてからまた重ねていき

m行n列にならべてからまた重ねる操作で順をもとにもどしたり

ひょっとしたら特定のカードをあてるもしくはコントロールする

3*7=21

4*5=5*4=20≡1(mod. 21)

#1(*5)

1  5  9  13 17

2  6 10 14 18

3 7 11 15 19

4 8 12 16 20

#2(*4)

17 18 19 20

13 14 15 16

9   10 11 12 

5    6   7    8

1   2   3     4

ですが、

普通でないマトリックスは

GCD(a,24)=1

   a^2 ≡ 1 ( mod.24)

たとえば二十四枚のカードでパーフェクトシャッフル(N進数)して

5^2≡1

の場合は実際は

1   6   11   16   21

2   7   12   17   22

3   8    13  18   23  

4   9    14   19  24

5   10   15   20   

カードを五枚ずつパイルに分けていって左端からしたに重ねてとるという例の操作でできる

1

6

11

16

21

2

7....

としたに重なり

1    2    3     4     5   

6    7     8    9   10

11  12  13  14  15

16  17  18  19  20

21  22  23 24 

二回繰り返すともとにもどる

パイルに分けて重ねるのでなくn*mに並べるのであれば逆からとってかさねればいいか

7^2≡1

11^2≡1

13^2≡1

17^2≡1

19^2≡1

23^2≡1

なども同様にして

すべて互いに素な元の二乗は初期状態になるか

実際は

7^2≡1

24≡3(mod.7)

3*7=21

4*7=28

で３つあまりで４つ足りないのでこの方法ではよくない

特定の順でにパイルをあつめる例の操作でやるしかない

１１や１３は実効性がない

これは

2^2≡1(mod.3)

3^2≡1(mod.8)

からキテイルカ(いや数学のふかい理屈が潜んでいるらしい注意*)

このようなシャッフルは他にもあるか？

ちょっとかんがえるとわかるのは

4^2≡1(mod.15)

6^2≡1(mod.35)

あるいは

2^2≡-1(mod. 5)

3^2≡-1(mod. 5)

あたりがよいか

あるいは

4^2≡-1(mod.17)

6^2≡-1(mod.37)

5^2≡-1(mod.26)

7^2≡-1(mod.50)

でもできる

このようなシャッフルを拡張版マトリックスシャッフルとでもよぼうか？(あるいはプラスマイナスワンシャッフル)

大谷素数

レイランド素数でも二刀流

レイランド数とは

p^q+q^p=R

みたいな数でRが素数の場合レイランド素数というらしい

１７の魔力

このうちpqRすべてが素数なのは１７だけ

(京都大学の入試問題にでたらしい)

またこれに

p^q-q^p=R

もあって

17=3^4 - 4^3

17=2^3 +3^2

をこれからは大谷素数とよぼう

(ピーターフランクルさんもこっちを紹介すればよかった？)

朔旦冬至

旧暦の朔は１１月１日

冬至の日が新月になるのが朔旦冬至

十九年ごとにくると言うが実際はちがうかも。

*注意

合成数で

mod.21で

X^2≡1

を求めるには

X^2 -1=0

2^6=1, 2^3=8

10^6=1,10^3=8

21-8=13で

8^2 =0

13^2 =0

だとわかり

二つの約数

(8^2 -1)|3^2*7

(13^2 -1)|3*8*7

だとわかる

曜日と数理とトリック

 七曜

一週間がなぜ土日月火水木金？

ブラックな企業は月月火水木金金

曜日のはじまりは

そもそも何曜日が曜日のはじまりか

曜日の順の謎

なぜ曜日の順は天体の順と違うのか？

水金地火木土天海王星冥王星？だった

今は後ろの方がちがうかも

古代ローマでの説明

文献による

当時の天体の地球からの距離が遠い順

土木火日(太陽)金水月

天動説だから地球はふくめない

五つの惑星と太陽(恒星)と月(衛星)

これに１日２４時を一時間ごとに順に割り振っていく

0-1:土

1-2:木

2-3:火、、、

１日終わると次のサイクルでまたはじまるが３つずつずれこむ

24≡3 mod.7

７をモドシテ２４時は３の剰余と合同

次の日の最初の一時間は

0-1:日

1-2:金

2-3:水、、

でまた２４時やって次の日のサイクルを繰り返すと

七日で１日のはじめの一時間目がもとの土曜にもどる

それぞれの日の最初の一時間に対応する天体を曜日の名前とすれば

最初の一時間0-1を０とし次の1-2を１とし、

対応する天体の曜日とすると

0-3-6-2-5-1-4-0-3-6,,,

たしかに土日月火水木金

だからもし０をはじめにしたら一週間のはじまりは土曜日だったかもしれない

カレンダーはグレゴリオ暦で土曜日(安息日)を一番最後に持ってきて

最初の曜日は日曜日

日本の民法では暦によるとあり日本はグレゴリオ暦だから

やはり最初の曜日は日曜日がくる(追記２４時)

ところで

なん万年まえは１日が２３時間だった

これならば

23≡2 mod.7

0-2-4-6-1-3-5

となり

土火金月木日水

同様にして

４なら

0-4-1-5-2-6-3

土金木水火月日

５なら

0-5-3-1-6-4-2

土水日木月金火

６なら

0-6-5-4-3-2-1

土月水金日火木

ならべてみる

土日月火水木金

土火金月木日水

土金木水火月日

土水日木月金火

土月水金日火木

これを例によってむりくり数理トリックにしたててしまう

数理トリック

「曜日のなぞ」

単純バージョン

木火日金水月土の順にならべたカードを裏向きにもち

何回か相手にカットしてもらう

最終的に木がうえにくるようにカットする

それをspellingのように順にだす

２４回上から順にカードを送ればよい

それはたいへんなので

「ようびようび、」と三文字にすればよい

SANDS-MATSUYAMA principleとおなじ

(ということは原理的には同一の数理)

おなじ剰余類であればいいので１０でもできる(追記１日)

演出

はじめに天体の位置関係と曜日の順が異なることにふれておく

そのようにカードをならべてから上記のようにやる

追記１日

この方法論で曜日の順をつくろうとすると天体のかずと自転周期つまり１日の長さが倍数約数となる関係の数字同士は曜日がつくれなかった？

素数でなくても互いに素でなくてもいいが

０の剰余類にハイったらダメ

たとえば天体のかず９にたいし１日の長さ２７時間だったり

一週間に１０日こい

天体のかず１０でも２４時間ならよい

１日１０時間でも天体が７ならよい

もっともそれならば一時間を定義しなおして調整すればよい。

参考サイト

https://quasar.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/~katsura/seven-days-order.html

追記２４時

ISOの国際規格では月曜日が一番

労働基準法では日曜日が一番最初