数学者のお気に入りのトリック

２　１　３　４　７　１１　１８　２９、、、

これはフィボナッチ数列の一種のリュカ数列というものであり、これは下一桁をみると１２で周期が一巡することがわかる。

だから手品では、２　１　３　４　７　１　８　９　７　６　３　９

覚え方
　 (にいさんよないはくなむさく)

の１２枚のカードをつくりこれを円形にならべておく。つぎにどこかで分離してもらい、さらに６枚のカードを 上下にならべておく。これを足して合計を出してもらう。

２１３４７１＋

８９７６３９＝

これはすべて足すと１０になるので、合計は１１１１１１０。

さらに３つごとにわけると、

２１３＋

４７１＋

８９７＋

６３９＝

となりその合計は２２２０。

さらにこれをりようしてもうひとつの不思議がある。

下の数列で両方の２から出発してその数だけ移動すると、

２１３４７１８９７６３９３６７９８１７４３１２

まん中のある数字のところで出会うはず。

さらに数学者が好きなトリックは、

１４２８５７

これもリュカ数列とおなじであるので、まん中で二つに分けてから足すと、

１４２＋

８５７

＝９９９

なぜそうなるかというと、循環小数はそのg展開において周期がgの位数rになり、その二分割和は gー１が並ぶというMidyの定理があるのですが。

ニューメリカルスタックはばれやすいか

３を等差に１から足していくと、

１　４　７　１０　１３　１６　１９　２２　２５　２８　３１　３３・・・

それを１３を法としてみると、

１　４　７　１０　１３　３　６　９　１２　２　５　８　１１　１・・・

ある数の等差数列をつくりさらに１３を法とする(13で引いて余りをとる)と、このように１３の周期ですべて一つずつでるようになる

これはニューメリカルスタックで有名なサイステビンスになる

トランプでは11をジャック12をクイーン13をキングとする

ただしサイステビンスが発明したわけでない

もっとまえからあるだろう
(イタリアンの文献あり)

ニューメリカルスタックはばれやすいといわれてる(誰にか？)

　　　　　　　　

ちなみに等差2ならば

１　３　５　７　９　１１　１３　１５　１７・・・

１　３　５　７　９　１１　１３　２　４　６　８　１０　１２　１・・

ちょっとパターンが単純すぎる

等差4なら

１　５　９　１３　１７　２１・・・

１　５　９　１３　４　８　１２　３　７　１１　２　６　１０　１・・・

等差５なら、

１　６　１１　１６　２１　２６　３１　３６　４１　４６　５１　５６　６１・・・

１　６　１１　３　８　１３　５　１０　２　７　１２　４　９　１・・・

　
　

等差６なら、

１　７　１３　１９　２５　３１　３７　４３　４９　５５　６１　６７　７３・・・

１　７　１３　６　１２　５　１１　４　１０　３　９　２　８　・・

　

等差７なら、

１　８　１５　２２　２９　３６　４３　５０　５７　６４　７１　７８　８５　９２・・・

１　８　２　９　３　１０　４　１１　５　１２　６　１３　７　1・・・

　
(-7=+6とのインバースで逆転している)

等差８なら、

１　９　１７　２５　３３　４１　４９　５７　６５　７３　８１　８９　９７　１０５・・・

１　９　４　１２　７　２　１０　５　１３　８　３　１１　６ ・・・

(-8=5とのインバースで逆転している)

等差9はインバース(逆数)が-9であるから+4で逆転している

等差１０は３と１１は２と逆転しているはず

となり、p－１以下のいかなる数でも一様になるので、３でなくてもよいのか？他にランダムにみえる数列であればよいかも

しかし実際には頭のなかで計算して次のカードをわりだすのに不便だからー

やはり３か４が実用的です

デック全体でやるにはどうするか？

究極にランダムにみえるスタックはメモライズドスタックかというとそれはどうか

もともと、スタックを疑われていなければ関係ないか？

ファロのイカサマの手口

ファロでのイカサマの手口    

ファロテーブルにおける当時の注目すべき論文は、その必勝スキームを こうのべる(文献：ダイアコニス、グラハム『数学で織りなすカードマジックのからくり』１２６p／)。 まず、トランプをエースからキングまで順番に四つのやまにならべる。スート（ダイヤ、スペード、ハート、クラブ）はバラバラえよい。つぎに各やまをモンジェシャッフルとよばれるやり方でシャッフルする。つぎにすべてのカードをひとつに重ねてから今度はミルクシャッフルと呼ばれるやり方でシャッフルする 。こうすると、どうなっているかというと、カードを買ったときのようなならびになっている。つぎはファロディーラーはテーブルに二ヶ所にカードをわけていく（ただし実際のルールは最初の一枚はすてる、後述）。うえからの一枚を表にしておき、これをwinner勝ち札としつぎのカードをlooser負け札にする（指定してもらい反対にする場合もある）。その前からでもいつの段階からでも賭けに参加できる。エースからキングまでに対応するレイアウトがテーブルにあり、勝ち札とおなじ札にかけていたひとが勝ち。もし負け札にかけていたらそのチップは没収される。さらにいまの段階でどの数字がでたかを記録する。だから、このゲームの必勝のパターンは、勝ち札と負け札に一定のスタンスをもうけておくことであり、さらにこのようなパターンにいつでもしておくことである。それはパーフェクトシャッフルしかできない。パーフェクトシャッフルでパリンドローム対称保存する。まさにファロディーラーにとって、その法則性をしっているギャンブラーと組んでもうけさせることが可能である。それを知らない人には、カードはバラバラになっていると思う。もし、何が出ているかだけでなく、その順番までも記録しておけば、パリンドローム構造がばれてしまうかもしれないが。   ファロディーラーのイカサマ   しかし、ここで問題がある。ファロのルールは最初の一枚はすてるからだ。いくらパーフェクトシャッフルで必勝法のならびにしても、二度目三度目とやり続けるにはいかない。また、皆の前でミルクとモンジェをやったのかという問題がある。 または確率的に操作するという面もある。ファロのゲームの場合は、よくシャッフルされた場合は、ロングタームでは確率的にギャンブラーに有利なゲームなので、ファロの主催者側は薄く稼ぐことになる。だからなるべくカードをかたよらせないほうがよい。効率的に分散させるとすると、ギャンブラーに負けさせることになる。じつはそれができるのもパーフェクトシャッフルなのだ。つまり、はじめの一枚はすててしまいつかわないというルールは、それによってパリティが狂い、だんだんと必勝法が効かなくなる。だから、パーフェクトシャッフルならばサイクリカルにスタックしたカードをパリンドローム対称保存で効率的に分散させることができても、何度もやれば発散してしまいついには法則が崩れる。いままでもうけていたギャンブラーを今度は負けさせることになる。だからディーラーはパーフェクトシャッフルをつかって崩れたパリンドローム構造（今度は近くにおなじ数字を配置）にすればよい。

  ファロディーラーはファローシャッフルをやっていたのか  

もうひいとつの疑問はモンジェシャッフルとミルクシャッフルは、真にファロディーラーのシャッフルであったかどうか、あるいは論理上のことかもしれない。一枚をのけなければ以上の手続きは何度くりかえしても法則が保存するからだ。ファロディーラーがファローシャッフルをやっていたかは定かでない。文献も２０世紀初頭になるまではでてこない（文献maskelyne,sharps and flats）。この必勝法をパーフェクトファローシャッフルで達成するには、４pにわけてから二つずつでファローシャッフルすればよい。     ギャンブルテクニックとしては、超絶技法として、パーフェクトファローシャッフル、またはテーブルド・リッフル・ファローシャッフルなどと呼ばれ、とても習得に困難である。よしんば、一二度成功したとしても連続ではなかなかできる人はいまい（サイト、Youtube）。だから完璧にできるイカサマディーラーがいれば、真にイカサマの業である。もっともファロというゲームをカジノで採用しているところはもうないそうだ（１９８０年代まではラスベガスのカジノであったという）（サイト）。 なお、デック全体でダウンモンジェをやり、そのあとミルクシャッフルをやるとまたもとのならびになっている。

Bibliography

 faro exposed  by alfred trumble

幻の文献

アードネスでファロの記述が少ないのは多分先行するこの文献があるから

では我々がこの著作を読んだらなにを獲ることができるか？

当時のイカサマファロディーラーがファロシャッフルをしていたかがわかるかも

ただし確認されているのはたった三冊でオークションでバカな値段がついてるのでオリジナルのコピーはむりです

復刻版を手にいれてみればよい

erdnase
Expert at the card table
『プロがあかすカードテクニック』
プロのギャンブラーでアマチュアマジシャンの書いたギャンブルのバイブル。日本語版あり。

john morris   
wanderings of a vagabond (1873)
変な本です。前半が自伝小説風で後半にギャンブルのイカサマ手口が解説。

johnathan harrington green   

改心した元ギャンブラーのイカサマ事典。ただしフィクションや先行の文献からの孫引きあり。

  george devol   
forty years a gambler on the mississippi (1887)

本物のミシシッピのギャンブラーの自伝。血生臭い武勇伝やらロマンスやら。

    john Scarne   
Scarne on card games (1949)

Andrew Steinmetz   
the gaming table :its votaries and victims.(1870)  

ヨーロッパのギャンブルの歴史。

herbert asbury 
  sucker's progress (1938)

アメリカのギャンブルの歴史。

ギルブレスはおもしろい

カードマジックでは数学者のギルブレスが提唱したリフルシャッフルの法則性として、ギルブレスの原理というのがある。

これは、リフルシャッフルしてもパリティが保たれるというものであり、赤黒偶数奇数をわけるとそれがどのように分散させるとも、把握できるのです。 だからマジックだけでなくイカサマゲームにもつかえる。その手順をみてみる。 まず、完全に揃っているトランプをつかう。これを赤黒赤黒と交互にする。最後の一枚の赤を真ん中の赤のとなりにくっつけておいておく。これで完了。 つぎに真ん中の赤赤のところで半分に分けてから、ふたつを普通やるようにパラパラとはじいてまぜる。これでバラバラになった？ じつはそうでなく、把握できるのです。 うえから二枚ずつをとり、テーブルにはなしておいていくと、その二枚は必ず赤黒あるとおもいます。これがギルブレスの原理として その性質が働いている。だからイカサマゲームの主催者のあなたは二つのうちひとつの色がわかればもう一 方は自ずとわかるのですから百パーセントの的中率です。 相手にカードを混ぜさせることもできる。どんなラフなリフルシャッフルしてもいい。 うえから二枚ずつをとり、テーブルにレイアウトしていく。うえのカードだけをあけておく。したの カードをあてるゲームだといえばよい。秘密をしっているあなたは相手が指定したすべてをあてることができる。

カードマジックと数理２

カードマジックと数理は意外な関係がある。 中国式剰余演算とパーフェクトシャッフルとよばれるカードマジックで使われる技術について。

中国式剰余演算

孫子

ある数のもの、なんでもいいがここでは碁石が１０５ありこれを好きな数だけとりわける。 いま、その数を７で割れるだけわる。あまりをつぎに５でも割れるだけわる。つぎに３でもわ割れるだけわる をsそれぞれa,b,cとすると、それを聞くだけで全部でいくつあるかわかる。

数学でいう群をなす演算での剰余演算あるいはモジュラー算術を、ここでは３、５、７の数の法で考えるということを にすると、

x≡ a mod ７

x ≡ b mod５

x ≡ c mod ３

をみたす数xをさがせばよい。実際の演算でも、

x=15a+21b+70c

をもとめれば一意にもとまる。 これは、

p=7、５、３

の互いに素なみつぐみでないとうまくいかない。

じつはこれはトランプでもおなじであり、特定の枚数のカードpがあるとその数以下の枚数の p-１でみていくと、すべてp回でもとにもどるのです。

これはマジックの世界では、sands/matsuyamaの原理として有名である。（数学の世界ではとくに名前はないようです）

すべての数が一意にあらわれるにはやはり素数を法として考える

x^2=a mod p

という平方剰余の演算である、

x^s-1≡0 mod p

が、s通りの答えをもち、その個数がs個であるということ。

オイラーの定理、

x^n ≡ x mod n

その一般化、

a^r≡1mod N

さらに法が素数pならば、

a^p-1 ≡ 1 mod p

　

これをフェルマーの小定理という。

だから、素数pを法としてそれが、カード一組ならば５２枚数なのでプラスいちして５３を法としてaが二進数なので２ 、トーティエント関数がp－１で５２、だからカード一組でパーフェクトシャッフルをやると５２回でもとにもどるのです。あれ、カード一組をパーフェクトシャッフルすれば、８回でもとにもどるのではないか。それはアウトのパーフェクトシャッフルである。インならば上記のとうり。アウトは－２ すればよい。５２－２＝５０のイン（しかし１プラスして５１を法とすること）、パーフェクトシャッフルと周期はおなじになるのでよい。 なぜ、一枚プラスするのか。それはAKBでも秋元がいるので４９になるのとおなじか？ちがうか。 。

さらに、これを変形して、

(p-1)^2 ≡１mod p

(p-1)!≡ -1 mod p

さらにおもしろいのは、

p^2 -1=（p+1)(p-1)

が 24で割りきれるって、ふしぎ？

この３つが互いに素なみつぐみになるかどうかが有名な双子素数のレンマか？

で、じつはこの、フェルマーの小定理にあらわれた、法がpならばp－１で一周するというのがパーフェクトシャッフルの周期で あり、それはオイラーのトーティエント関数の約数となる。それは偶数であり、乗法的になっている。 さらにaが原始根であり、素数pを法として考えるときには必ずあるというのがレンマである。 また、AKBにたとえるならば、原始根aがレパートリーであり、そのときに全員Nでうたうが、何曲あるか、または何番あるか、である。余計わかりにくい。 フェルマーの定理にあらわれた離散対数を暗号につかうと、RSA暗号になるのです。 そのときにはNとaが互いに素であり、rが（p-1）（q-1）の積にあらわせるという素因数分解の一意性と 離散対数の一方向関数としての性質をつかうとか。 暗号理論とシャッフルの周期をもとめる問題が本質的にはおなじとはおどろきである。

カードマジックと数理１

カードマジックと数理は意外な関係がある。

そこでいかに苦労をせずに理解するにはどうするか。メモテイドニ考える。

このブログでは主にカードマジックの基礎的な論理を検証する。

まずは（互いに素）という考え方、

つぎに（トーティエント関数）、

[合同式と中国式剰余演算と剰余環]、

[オイラーとフェルマーの定理]、

仕上げは[群論]

といけばよいか。

まずは互いに素という考え方を説明する。ある二つの数字aとbがありこれはちがうものをよういする。 それの公約数を考えると、その最大のものが１な場合、

（a,b）=1

というふうに表記する。

今、自然数のうち整数の数列、

　１　２　３　４　５　６　７　８　９　１０　、、、、、、、、

があればどのとなりあう二つの数字でも互いに素である。

面白いのは有名なフィボナッチ数の数列のとなりあう二つの数字も互いに素である。 これはなにを意味しているのか。

　１　２　３　５　８　１３　２１　３４　５５　８９　、、、、、、、、

ちなみに消費税もフィボナッチ数列をもとにしているか。

０％　３％　５％　８％　X%、、、、、、、、、、

　＋３　＋２　＋３　＋２　、、、、、、、、、、、

であり、やはりつぎは１０％である。

それを消費減退数列というか？