カレンダー数列の性質

十進展開

1/31なら

３０枚数のカードで十進シャッフルを実行してカレンダー数列で変換する

９をかける操作

下一桁が１の場合

0*9=0
1*9=9
2*9=18(8)
3*9=27(7)
4*9=36(6)
5*9=45(5)
6*9=54(4)
7*9=63(3)
8*9=72(2)
9*9=81(1)

それで
0 1 2 3 4 5 6 78 9
0 9 8 7 65 4 3 2 1

と「カレンダー数列」が対応する

足して１０だ

ようは１０からひけばよい

ゼロはゼロとする

これは？

では1/31=

ならば

剰余数列をかけるpした十進展開は

0-7-8-8-5-2-0-4-6-5-9-4-9-8-1

上記の法則で変換すると

0-3-2-2-5-8-0-6-4-5-1-6-1-2-9

1/31=
0.03225806456129,,,

つまりかけるpせずに直接９をかけるだけでよかった

実際には割り振りをかえればよい

パイルに置き換えると

(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)
1   4   7
2   5   8
3   6   9,,,,

と分割シャッフルをすればよいことになる

下一桁が１の分母の十進展開はパイルの位置だけで割り出せることになる

これは1/21や1/51のような分母が合成数でもおなじ(下一桁がゼロと５はのぞく)。

カードシャッフルで循環節の数列を計算する２

十進展開シャッフル

ひとつは１０がp-1の倍数となっているケースがよい

もうひとつは１０の逆元がたまたまp-1の倍数となっている場合

これは
10x≡1 mod.p

逆元の置換表示と剰余数列(サイクル表示)は互いに逆になってるから

1/13=?
10;1-10-9-12-3-4-1

4;1-4-3-12-9-10-1

十二枚で四進シャッフルでやってそれを逆からみればいい

ということは同値なシャッフルで周期と剰余数列を決定

見通し

ということは

1/53=?

５２の約数の１３枚ごとでやるか

５２枚だと十進で周期が１３だから

周期がおなじものをえらんでみるか

逆シャッフルも置換の順番が逆になるだけだから

１０の逆元
1/53=?
10*16

1/17=?
10*12

逆シャッフル

-1

1/17=?

16=2*8

10*5

1/53=?

52=4*13

10x=52?

そうだ例のやつだ

十七次方程式の根をとくやつで多項式を入れ子にする変形で

それなら５２の周期の２６辺りでまた変換する

しかしそれは難しそうだ

13;1-13-10-24-47-28-46-15-36-44-42-16-49-1

10;1-10-47-46-36-42-49-13-24-28-15-44-16-1

剰余数列同士は離散対数の法則で変換することができるが

よくみるとそれぞれの剰余数列が６ごとになるので変換することは可能

だから５２枚のカードでやるには１３進シャッフルして変換する

ただしn進展開の数列が直接関係するかどうか。

カードシャッフルで循環節の数列をつきとめる

　循環節は通常は十進展開

従来型

まず突き止めたい枚数の置換数列をだす

それをシャッフルの置換方法とみてならべかえて剰余数列をだす

剰余数列から十進展開の数列に置き換える

このときカレンダー数列をつかった

新方式

分割シャッフルで十進展開の数列を計算する

十進のシャッフルを実行してその動き方を読みとっていくだけ‼

いってみれば直接方式

ただそれをどうやってやるか

それを計算で出したら本末転倒

(でも基本的に数列は全部EXCELでだす)

純粋に「カードシャッフルだけで」十進展開の数列を計算する続き

３１のようにp-1が十の倍数になっていればよいとわかる
だがしかし下一桁が１の場合出てきた数列に９をかけてまた下一桁をとる

カレンダー数列のように変換する必要がある

1/7=
７の場合は特殊で３ごとになるので六枚で三進シャッフルか？

#1
(0)(2)(1)
1   3   5
2   4   6

#2
(0)(2)(1)
  5   1   4
  3   6   2

#3
(0)(2)(1)
 4   5   6
1   2   3

#4
(0)(2)(1)
  6   4   2
  5   3   1

#5
(0)(2)(1)
2   6   3
4   1   5

#6
(0)(2)(1)
  3   2   1
  6   5   4

各パイルの１の位置
0-2-0-1-2-1
1-4-2-8-5-7
これが三進展開の数列と十進展開

問題はなぜこれが十進展開と同値なのか

(0)(2)(1)
1   4   7
2   5   8
3   6   9

それぞれの組に入ってるわけだ

だからひとつの手としては対応するカードの裏に小数展開の数字を書いておいて最後にひっくり返して見せればいいか？

N進シャッフル

１２枚でN進シャッフルを実行

モド１３(以降すべて)

順番
剰余数列
N進展開

三進シャッフル

3^r

0-1-2-3
1-3-9-1
   0-0-1

#1
(0)(2)(1)
1   5   9
2   6   10
3   7  11
4   8   12

#2
(0)(2)(1)
9   6   3
5   2   12
1   11   8
10   7    4
#3
(0)(2)(1)
3   2   1
6   5  4
9   8   7
12   11  10

四進シャッフル

4^r
0-1- 2- 3 -4 -5-6
1-4-3-12-9-10-1
   0 -3 -0 -1 -2 -1
#1
(0)(3)(2)(1)
1   4  7 10
2   5  8  11
3   6  9  12
#2
(0)(3)(2)(1)
10  1  5   9
7  11  2  6
4   8  12 3
#3
(0)(3)(2)(1)
9  10 11 12
5  6    7    8
1   2   3   4

#4
(0)(3)(2)(1)
12  9  6  3
11  8  5  2
10  7  4  1

#5
(0)(3)(2)(1)
3  12  8  4
6   2  11  7
9   5   1  10

#6
(0)(3)(2)(1)
  4  3   2    1
  8  7   6    5
12 11 10  9

カードでやるにはN個のパイルごとにわけて一枚ずつとっていく

何回かおなじことをやるともとに戻るのでこれが周期

その時のトップカード(とそれ以外も)のパイルの位置の情報が剰余数列とN進展開でわかる

なればN進展開の数列がカードシャッフル(置換)でわかってしまう。

循環節の数列

1/19=
十進展開052631578947368421

剰余数列10,5,12,6,3,11,15,17,18,9,14,7,13,16,8,4,2,1

１０を底としたモジュラー算術での位数(巡回周期)が循環節の長さとそのまま一致

r=18

10^18≡ 1 (mod.19)

で問題はなぜ循環節の数列が剰余数列の下一桁に一致するのか？

ならべかえてみる

剰余数列　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
循環節数列1 2 3 4 5 6 7 8 9   0   1   2  3   4    5    6   7   8

これはカレンダー数列でもですが中心対称になっている
補数９

なれば

足して１９の剰余数列がペアとなるべきは９

10-0
9-9

0+9=9

3-3
16-6

6+3=9

相補性から来ているか

十進展開でなくてもいい

五進

1/17(5)=?
五進展開0,1,2,1,3,4,0,2,4,3,2,3,1,0,4,2
剰余数列5,8,6,13,14,2,10,16,12,9,11,4,3,15,7,1

でカレンダー数列は

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 4 1 3 0 2 4 1 3  0   2    4   1   3   0    2

相補性

五進展開の数列を半分にならべかえてみる

  0,1,2,1,3,4,0,2,
+4,3,2,3,1,0,4,2
  4 4 4 4 4 4 4 4

カードのシャッフルならば五進の(ディール)シャッフルを実行したときにトップカードがどこのパイルにうつるかをあらわしている。

本質と脇道

定義とは目的

目的とはどうなったらよいか

本質とは関係ない細部が気になるのは初学者

トーシェント？

抽象的だと便利

抽象的つまりゆるいといろいろ応用できて便利

抽象的は具体だな。

脱虚構

スイッチインタビュー
中井貴一とロックシンガー

ある役でポイ捨てをしようとしたら

ディレクターがそれはモラル違反でできないんです

テレビ局がポイ捨てを是認するのかという

テレビドラマの最後にフィクションですとでるのもおなじ

だんだん制約ができる

でもその制約があるからその範囲でやるのがよいのではと

そうかんがえると落語は究極の芸です

談志さんのイリュージョン論ではないが

「これはマジックです」
「種も仕掛けもあります」

はじめにいってしまうがよい

あるいは
「これはマジックではありません」
「種も仕掛けもありません」

英語だとノヴェルはフィクション？

我々が中井貴一だと思っているのは本当は？

すべて我々の認知は錯覚イリュージョンですからね。

数理トリックの問題点

数理トリックの問題点

手続きが面倒

やってもらうことが複雑で間違うとアウト

結末の現象が面白くない

セルフワーキングマジックならある程度はしかたないですが

数理トリックとして演じるなら

シンプルで

意外性のあるものがよい？

でもって本質の数理原理を具体的に理解できればよい

教育的な視点もあるので。

循環小数と剰余数列の続き

９をかけて変換する場合

1/17=

置換表示
(10,3,13,6,16,9,2,12,15,8,1,11,4,14,7)
剰余数列
[10,15,14,4,6,9,5,16,7,2,3,13,11,8,12,1]
周期は１６

カレンダー数列は７とおなじで１６まで繰り返す

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 4 1 8 5 2 9 6 3   0  7   4    1   8   5    2

1/17=
0.0588235294117647,,,

下一桁が１の場合
1/11=

置換表示
(9,8,7,6,5,4,3,2,1,0)
剰余数列
[10,1]
周期は２

こんどはカレンダー数列が変形で

0,9,8,7,6,5,4,3,2,1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 8 7 6 5 4 3 2  1  0

1/11=
0.09,,,,

1/31=

置換表示
(10,20,30,9,19,29,8,18,28,7,17,27,6,16,265,15,25,4,14,24,3,13,23,2,12,22,1,11,21)
剰余数列
[10,7,8,18,25,2,20,14,16,5,19,4,9,28,1)
周期は１５

カレンダー数列を３０まで延長して対応する数字に変換する

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,,,26 27 28 29 30
9 8 7 6 5 4 3 2  1  0  9   8   7 ,,,  4   3   2   1   0

1/31=
0.03225806456129,,,

数理トリックとして演じるなら

下一桁が９の場合のようにそのまま循環節の数列になるのがわかりやすくてよいか。