シャッフルと循環するカードの話

十三枚のカードで分割シャッフルする

循環小数とレピュニット

レピュニットとは

11111

77777

99999999

とかのおなじ数が連続する数字のこと

これがカードをシャッフルするとあらわれる周期と関係する

どういうことかというと

1111111111111

を面倒なので以下

R13というとする

シャッフルの計算で

10^13 - 1が53で割りきれれば

10^13 ≡+1 (mod. 53)

なので実際に

1-10-47-46-36-42-49-13-24-28-15-44-16-1

トランプ一組を十進でシャッフルしたら？十三回でもとにもどる

これはR13が53を因子としてもっているから

１以外の元もぜんぶモドる

じつはレピュニットの長さが十進でシャッフル(計算)したときの周期とつながる

トランプの枚数が因子とし

つまりは

1111111111111=53*79*265371653

またここから
10^13  ≡1  (mod.79)

10^13  ≡1 (mod.265371653)

もうひとつ

13を因子としてもっているレピュニットの長さはいくつか？

10^r ≡1 (mod.13)

10^r -1

の最小周期
10^6 ≡1

だから111111で六

111111=13*8547

循環小数の周期

1/p

pは素数とする

有名なシャッフルの式

a^p-1 ≡1(mod.p)

1/13

10^12≡1(mod.13)

である実際には分割シャッフルの手法で実行できるがここでは計算で

(1.10.9.12.3.4)
(2.7.5.11.6.8)

ということで循環周期は六

したがって

10^6≡1(mod.13)

因みに分割シャッフルでは三分割シャッフルでよい

また三回目には逆順となるので

10^3 ≡-1(mod.13)

つまり

10^3 +1≡0(mod.13)

つまり

1001=13*11*7

だから

10^3 +1≡0(mod.11)

10^3 +1≡0(mod.7)
だから

101,1001,10001....

こういう形の数は(名前があるのか？)

レピュニットの長さがどんな周期の素数を因子としてもっているかどうかできまるわけだ

ぜんぶおなじ周期をもっている素数が因子として集まってるわけだ‼。