巡回数と分数の周期

巡回数とは

代表的な

1 4 2 8 5 7

なら

1 4 2 8 5 7*2=2 8 5 7 1 4
1 4 2 8 5 7*6=8 5 7 1 4 2
1 4 2 8 5 7*4=5 7 1 4 2 8
1 4 2 8 5 7*5=7 1 4 2 8 5
1 4 2 8 5 7*1=1 4 2 8 5 7
1 4 2 8 5 7*3=4 2 8 5 7 1

これをどれでもいいから半分にして足すと

  5 7 1+4 2 8= 9 9 9

という風な数理トリックの有名なやつ

分数で1/7=0.142857.....

このうち小数点以下循環する桁の循環節の長さを周期または位数という

1/pという循環小数の循環節の周期をかんがえるのに

通常１０がmod. Pで何回でまわるかをみればよい

これはカードのシャッフルなら十進でパーフェクトシャッフルしてもとにもどる回数となる

もし五十二枚目のシャッフルなら

1/53

１０が原始元なら循環節の長さが52なはず

そうでないなら最小周期がそうなるはず

実際には

10^13≡1 mod.53

1/53=0.
R=13

52の約数の長さ13が循環するんだ‼

例
mod7
10≡3
3)3-2-6-4-5-1

3*10=30=4*7+2
2*10=20=2*7+6
6*10=60=8*7+4
4*10=40=5*7+5
5*10=50=7*7+1
1*10=10=1*7+3

初項とその等比数列をモドPでやった余りが巡回する

だからその巡回周期とその商たる循環節の長さが完全に一致する

初項をかえれば分子１以外にも対応

例
1/13=
mod.13
10)1-10-9-12-3-4
[0,7,6,9,2,3]

2/13=
10)2-7-5-11-6-8
[1,5,3,8,4,6]

二つの巡回数となる

10^6≡1 mod.13

10^6 -1 =13*

二つの巡回群にわかれたら二つの巡回数になるか？

じつはもうひとつの巡回数がかくれている

余りの数列の巡回数の二分割和

3 2 6 4 5 1

  3 2 6+4 5 1= 7 7 7

こっちのほうがいい

これを無理やりカードマジック風にしたら

「７のばくち」

七枚のカードをsands-matsuyama でp-1以下の自由な数でまわして
その置換の配列で７のペアをつくる

パーフェクトシャッフルではどんな配列でも相補性がでる

もっとすごい

じつは素数を法とした剰余環の巡回群は補数の平行性がある

なんと循環節の補数(足して分母の素数pとなる各元のペア)をたすと

2/13=
10)2-7-5-11-6-8
[1,5,3,8,4,6]
2+11=13

11/13=
10)11-6-8-2-7-5
[8,4,6,1,5,3]

  1 5 3 8 4 6
+8 4 6 1 5 3
  9 9 9 9 9 9

また足して素数pとなる分子同士の分数の剰余の置換表示をたすと素数pそのものとなり

これはもちろん
    2 7 5  11 6 8
+11 6 8   2  7 5
    13 13 13 13 13

これはステイスタックの法則です
Midyの定理？

まとめると

循環節の長さをシャッフルでもとめるには

余りの数列をパーフェクトシャッフルでもとめればよい

その置換の配列でもやはり巡回数とおなじ相補性がある

それは素数の性質で有限素体の乗法群が巡回群だから。